システム奮闘記：その105

スカラーとベクトル

(2016年5月22日に掲載)

スカラーとベクトルと表記法

　大きさや力の向きなどを表現するのに欠かせないのが
スカラーとベクトルだ。

　スカラーとベクトルの違いがある。

スカラーとベクトルの違い
スカラー	大きさのみ持つ量質量、長さ、高さなど。
ベクトル	大きさと方向を持つ量速度、加速度、力など。


　ベクトルを図にすると、次のようになる。

ベクトルとは大きさと向きを持った量

物を引っ張る際、引っ張る力は、強さと方向を持っている。外で風が吹いていて、木がしなる場合を見る。風には風速という強さと、方向を持っている。風が木にあたった際、木をしならせるだけの力が働く。この際、力は、方向と強さを持った量になっている。


　高校の数学でベクトルの表記法は習ったが、大学では2つある。

ベクトルの表記法

高校で習った、変数の上に矢印をつける表記法。
大学では太文字にする表記法を習う。

ベクトルでも量だけを表わしたい場合は
絶対値と同じ記号(変数の両辺に「|」)をつけるのだ。

矢印にするか太文字にするかは個人の好みだと思う(個人的見解)
だが、矢印の表記法だと具合が悪くなる場合が出てくるため
太文字が一般的に使われているのだ。



　ベクトルの厄介なのは、方向を持っている事だ。
　そのため足し算でさえ、単純ではないのだ。

ベクトルの足し算(方向が同じ場合)

ベクトルの方向(上図では力の向き)が同じ場合大きさの足し算も、そのままできるので計算が楽だ。


　だが、ベクトルの方向が異なる場合の足し算は面倒になる。

ベクトルの足し算(方向が異なる場合)

ベクトルの方向(上図では力の向き)が異なる場合量の足し算は、単純ではなくなる。


　そのため大きさの合計を求める際は、方向を考慮する必要がある。

ベクトルの足し算(方向が異なる場合)、方向を考慮する必要がある

上図の場合、方向を横方向と縦方向にわけて考えた。ベクトルの足し算は同じでも、大きさの足し算を見ると横方向の足し合わせと、縦方向の足し合わせを考える必要がある。


　ベクトルの計算の場合

　嫌でも方向が重要

　になってくる。

　物理の教科書を読む際、ベクトルと出くわすたびに・・・

　方向を意識して考えないと混乱する事がある

　なのだ。

　ちなみに私が強調する理由は・・・

　私自身、方向を意識しなかったため、何度も混乱した

　のだ。


　厄介なのが、本来、ベクトルなのに、大きさだけが必要な場合だ。
　その場合、表記もスカラー表記と同じになる。

ベクトルだけど、大きさだけが必要な場合

速度は方向と大きさを持っているのだが上図のように、高速道路で暴走して、お巡さんにつかまった際「150キロ出ていた」と言われる。この場合、150キロという大きさだけが必要な場合になる。「東北方向」とか「南方向」という方向の情報は要らない。


　物理の場合でも、ベクトル量の大きさだけが必要な場合がある。

クーロン力でみる表記の違い

クーロン力とは、2つの電荷の間に働く力のことだ。力の大きさだけが必要な場合は、スカラー表記する。力の方向も必要な場合は、ベクトル表記する。本来、力はベクトル量なのだが、大きさだけが必要な場合はスカラーと同じ扱いをしている。注意が必要になってくる。


　方向と大きさの両方が必要なのか

　それとも

　大きさだけが必要なのか

　を注意してみないと、混乱に元になるのだ。

　と経験者の私は語る


スカラー場とベクトル場

　電磁気の本を読む事にした。電磁気で出てくる言葉で「場」がある。
　電場、磁場といった言葉だ。


　電場とは、ファラデーが考え出した、電荷による空間の変化で
空間が変化が伝わる事で、相手の電荷に力が作用するのだ。


　ふと思った。電場というが・・・

　そもそも「場」って何やねん!!

　昔、私が理系だった時代に習ったかもしれない。
　でも、忘却の彼方なので、調べ直す事にした。

場とは何か

「場」とは文字通り、場所(空間)の事を言う。場所的に変動する物理量を議論する際その空間の事を「場」と呼んでいるのだ。


　そして余談になるが、工学系では別の名称を使っている。

物理と工学では呼び方が異なる
物理系の人は「電場」や「磁場」という。だが工学系の人は「電界」や「磁界」という。名称が違うだけで意味は同じなのだ。第三者から見ると、どうでも良い宗教論争に近い物があるのだがお互いが「うちでは、こう呼ぶ」で平行線が続いているのだ。ここでは物理系の「電場」と「磁場」を使います。

物理と工学では呼び方が異なる

物理系の人は「電場」や「磁場」という。
だが工学系の人は「電界」や「磁界」という。
名称が違うだけで意味は同じなのだ。

第三者から見ると、どうでも良い宗教論争に近い物があるのだが
お互いが「うちでは、こう呼ぶ」で平行線が続いているのだ。

ここでは物理系の「電場」と「磁場」を使います。


　スカラー場とベクトル場があるのだが・・・

　それも一体、何やねん!!

　なのだ。
　そして調べてみる。

スカラー場とベクトル場

場の物理量がスカラー(大きさ)だけで表現できるのをスカラー場という。空間内のガスの濃度の分布や、温度分布が良い例だ。ベクトル場とは、場の物理量が大きさだけでなく方向を持っている場合だ。「流れ」を連想すればわかりやすい。あとで出てくる電場が良い例だ。



電磁気学入門の目次

電磁気学入門:目次
スカラーとベクトル	簡単なスカラーとベクトルの話です。ベクトルは方向と大きさを持つ量。方向という量持っているだけに注意が必要です。
静電気の発見からクーロンの法則	今でこそ当たり前の静電気や導体、絶縁体、電荷などどういう経緯で発見し、クーロンの法則まで至ったのかの話です。
クーロン力、電場、近接作用	4つの力のうち、クーロン力の位置づけ電荷が作り出す作用の電場。近接作用の話です。
微分、全微分、方向微分	簡単な微分、全微分、方向微分の話です。ここをしっかり押さえないと、電磁気の数式の意味がわからなくなります。
ベクトル解析	電磁気に必要なベクトル解析の話です。勾配(grad)、2次元のグリーン定理ストークスの定理の話です。
電位ポテンシャル	電位ポテンシャルです。勾配と電場の関係を使って説明しています。
電気双極子	電気双極子の話です。物質中で起こる分極を理解するのに必要です。
ガウスの法則	ガウスの法則の積分形、微分形の話です。
ポアソンの方程式、ラプラス方程式	ポアソンの方程式、ラプラス方程式の話です。単に電荷分布から電位を求めるだけの話にとどまらない奥が深い分野です。ポテンシャル論、デルタ関数グリーン関数、固有値問題について触れています。
静電場と渦なしの法則	静電場で、電荷を1周させた時の仕事はゼロ微分形と微分形の渦なしの法則の話です。
ビオサバールの法則	電気と磁場の関係の発見の話からビオ・サバールの法則が導かれるまでの話です。
磁気双極子	磁気双極子の話で、回転電流になります。物質中の磁場の話にも関連します。
アンペールの法則	アンペールの法則の話です。積分形・微分形だけでなく、閉回路に流れる電流が作る磁気双極子の話なども書いています。
ローレンツ力	磁場中を移動する電荷にかかる力(ローレンツ力)の話です。ローレンツ力は相対性理論が絡んでいる事も紹介しています。
ファラデーの誘導起電力の法則	ファラデーの誘導起電力の話です。
うず電流を使った簡単な物理実験	電力計に使われるアラゴの円盤。そしてIH調理器で熱するために発生させる、うず電流はレンツの法則から電流が発生する原理を応用した物だ。アラゴの円盤の実験と、IH調理器を使った実験です。気分転換で読んでください。
ベクトルポテンシャル	わかりにくいベクトルポテンシャルの話です。電位は電荷が作る電気のポテンシャルだがベクトルポテンシャルは電流が作る磁場のポテンシャルの話です。
オームの法則の微分形	微小領域でのオームの法則の話です。
マックスウェルの方程式	4つのマックスウェルの方程式を書いています。電場と磁場の変化を図にする事で rotの回転の意味も理解できます。
ゲージ変換	ゲージ(gauge)は物差しの意味です。マックスウェルの方程式をE（電場）とB(磁場)の関係式から φ(電位ポテンシャル)とA(ベクトルポテンシャル)の関係式に書き換える際、ゲージ変換が使われます。ゲージ変換の役目を書きました。
電磁波	マックスウェルの方程式から電波が伝わる様子を視覚的に見てみる話です。
回転のrotはベクトルの微分	ベクトル解析や渦なしの法則で出てくるrotはベクトルの微分という話です。
電磁気学の単位系	電磁気学の単位系の話です。物理量の単位系の指数を見る次元解析電磁気学の歴史と単位系の変遷について触れました。
電気泥棒:電気と法律の話	電気は物体なのか、無形物なのか。明治時代に、電気を無断で使った場合、物か、そうでないかで窃盗罪になるかどうかが裁判で問われました。ちょっとした科学と法律の話です。気分転換で読んでください。
数ベクトルと基底ベクトル	ベクトルの話です。矢印だけがベクトルでない事。数ベクトルと基底ベクトルの違いの話です。多様体、反変・共変ベクトルを理解するのに必要です
多様体	空間を一般化した話です。 ▽(ナブラ)の正体に迫まります
外積代数	外積、テンソルについて書いています。極性ベクトル、軸性ベクトル外積は行列で、ベクトルは見せかけの姿だった話です。
ベクトルの双対関係	反変ベクトル、共変ベクトル、双対関係ベクトル解析、外積代数の話外積、テンソルについて書いています。
ローレンツ力と相対性理論	磁場は電場の相対論的効果だった話です。ローレンツ力を使って、導線が作る磁場を使って説明です。
微分形式	多様体の話の続きです。座標に依存しない形での関数やベクトルの微分の話です。ガウスの法則、アンペールの法則、マックスウェルの方程式が鮮やかな形で表現できます。 ∇(ナブラ)の正体もわかります。
物理と対称性	マックスウェルの方程式をよく見ると対称性があります。物理の方程式と対称性を数学的な観点でみると意外なつながりがあるという話です。
マックスウェルの応力	電気力線を弾性体(ゴム)とみなして、力の伝わり方などを説明した考え方です。
電場エネルギー	電場が持つエネルギーの式を導いた話です。
磁場エネルギー	磁場が持つエネルギーの式です。手抜きの説明と、直流RL回路を使った説明を書きました。
ポインティングベクトル	電磁エネルギーの流れ「ポインティングベクトル」の話です。電磁波でもエネルギー保存則が成り立つ話からポインティングベクトルを導いています。
電気エネルギーは導線の外を伝わる	導線の外を電気エネルギーが流れる話です。私が誤解した事、その誤解を解いていく過程を紹介しながら「目からウロコ」にたどり着いた話です。
物質中の電場	物質中の電場の話です。分極の話をしながら、物質中の電場の話をします
物質中の磁場	磁性の話をしながら、物質中の磁場の話をします
物質中のマックスウェルの方程式	物質中でもマックスウェルの方程式が成り立つ話です。
導体に侵入する電磁波	導体に侵入する電磁波が減衰していく話です。表皮効果と同じ「表皮の厚さ」が出てきます
表皮効果	目的の表皮効果の話です。マックスウェルの方程式を解きながら交流電流の周波数を上げると、表面にしか電流が流れなくなる話です。

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