システム奮闘記:その105

回転のrotはベクトルの微分



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(2016年5月22日に掲載)

渦なしの法則と回転のrot

 回転のrotは、以下の図で説明される事が多い。
渦なしの法則とrot(回転)の関連
渦なしの法則と回転なしの関連
静電場だと、電場の強さが場所に関係なく一定なので
水車を回わらない。そのため回転軸方向に何も働かないのだ。

 電磁気学の教科書でよく見られる説明なのだが、
こんな説明を見ても・・・

 よくわからへん!!

 なのだ。
 

 これだけだと、rotと回転が結びつかない。
 だが、琉球大学の前野さんの資料を見た。

電場と磁場の振幅の様子
電場と磁場の振幅の様子
隣接する電場の回転の差が、磁場の時間変化になる。
電場のZ軸方向の変化量と、磁場の時間変化をつないでいるのが
回転のrotというわけなのだ。

 視覚的にrotと回転がつながったので

 まさに目からウロコ

 の瞬間だった。


rotはベクトルの微分

 今までの電磁気学の数式にも出てきた。
rotが出てきた電磁気の式
rot使われている電磁気の数式
rotは「▽とベクトル」の外積だ。
回転の意味と言われるが、数式を眺めているだけでは
何も見えてこない。

 でも、琉球大学の前野さんの資料で、視覚的にrotが回転だとわかった。


 だが、その前に色々とrotの意味を考えたりしていた。

ガウスの法則の微分形でrotの意味を考える
ガウスの法則の微分形でrotの意味を考える
ベクトル場の微小領域を1回転する経路積分を求める。
その際、出てきた結果を、微小領域の面積でわっているため
経路積分の値を、単位面積あたりの値におきかえている。

 同じような事をアンペールの法則の微分形で考えてみる事にした。


アンペールの法則の微分形でrotの意味を考えてみる
アンペールの法則の微分形でrotの意味を考えてみる
アンペールの法則は電流と、電流が作る磁場との関係式だ。
微小領域を貫く電流と、それが作る磁場との関係を見てみる。
1周の経路積分を行なった後、単位面積で割っている。
単位面積で割るため、貫く電流は、電流密度になる。

 その点における単位体積あたりの値

 を求めるのがrotのようだ。

 次にファラデーの法則の微分形で見てみる。

ファラデーの法則の微分形でrotの意味を考える
ファラデーの法則の微分形でrotの意味を考える
ファラデーの法則の微分形は、磁束密度の時間変化と
発生する電場との関係式だ。

やはりここでも、単位面積辺りの磁束密度の時間変化と
発生する電場との関係式になっている。

 うーん、単位面積辺りの値である事は見えてきた。
わかったような、わからんような感じだ。

 要するに・・・

 全くわかってへん!

 という事になる。


 ベクトル解析の本を取り出す。
 色々、ネットや本を見ていく。

 外微分という数学の分野の事が書いているサイトを発見。
 微分形式 - [物理のかぎしっぽ]

 持っていたベクトル解析の本にも、外微分の事が書いている。
 でも、学生時代、そのベクトル解析の本は、読んでいないので・・・

 外微分って何やねん!

 なのだ。
 だが、ここは「外微分」がどういう分野なのか、わからんまま、
本やサイトを追っかけてみる事にした。

外微分:スカラーポテンシャルを微分すると全微分
外微分:スカラーポテンシャルを微分すると全微分
スカラーポテンシャルを全微分すると勾配が求められる。
1回目の微分は勾配(grad)を求めるというのだ。

 そしてスカラーポテンシャルを2回、外微分すると、驚く事が起こる。

スカラーポテンシャルを2回微分すると
スカラーポテンシャルを2回微分するとrotが出てくる
スカラーポテンシャルを2回微分すると、なんと回転のrotが出てくる。

ところで「dx Λ dx = 0」や「dx Λ dy = -dy Λ dx」は外積に似ている。
どういう式なのかは、外積代数や、微分形式を知る必要がある。
なので、ここでは「そうなの」の程度で見て欲しい。

実際、私自身、この時は、外積代数や微分形式の知識など全くなかったため
これを見た時は、チンプンカンプンだったが
そのままrotはベクトルの微分として受け入れて、前に進める事にしたのだ。
詳しくは後述しています。

 上の式の展開を見た時

 rotってベクトルの微分なんか!!

 と思ったと同時に衝撃だった。


 何せ学生時代、電磁気でrotは出てきたが、ベクトルの微分である事は
習った記憶がない。

 仮に習ったとしても20年も前の話だ。記憶はない。


 rot Aの導き方を見直してみる事にした。

rot Aを求めてみる
rot Aを求めてみる
rotは回転だ。
計算しやすいように、ベクトルの流れが一方向だけで考えてみる。
計算してみると、ベクトル成分の微分が出ているのがわかる。

 やはりrotはベクトルの微分だったのか!!

 と思った。

 というより、微分になっているのに気づいていない私は
余程、物理や数学の才能がないという事かもしれない。


 XY平面上の回転ベクトル(渦)の場合で計算してみる事にした。

XY平面上の回転ベクトル(渦)の場合で計算してみる
XY平面上の回転ベクトル(渦)の場合で計算してみるX(方向)
ベクトルのX方向の成分と、Y方向の成分を分けて計算した。
その後、単位面積辺りの変化量の値を求めた。

 それぞれを足しあわせてみる

XY平面上の回転ベクトル(渦)の場合で計算してみる
XY平面上の回転ベクトル(渦)の場合で計算してみる (Y方向)
ベクトルのX成分、Y成分のそれぞれの単位面積辺りの変化量を足し合わせる。

 ここで疑問が生まれた

変化の向きが垂直方向になっている
変化の向きが垂直方向になっている
rotは、ベクトルAの変化量を求めるのだが、向きが垂直方向になっている。

 ベクトルの微分なのに、変化量のrotAの向きが・・・

 なんで垂直方向やねん!!

 図に描いたり、ネットで調べたりしても、わからない。
 この時、疑問が解けないまま、あきらめて、先に進む事にした。

rotのベクトル方向は便宜的な物
あとでわかった話だが、外積の計算で求めたベクトルだが
ベクトルの向きは、あくまでも計算上、便宜的な物になる。
軸性ベクトルと言われる物だ。
もちろん、この時は軸性ベクトルがどういう物なのか知らなかった。

軸性ベクトルについては外積代数のところで取り上げています。

 外微分の話を読む事にした。

「dx Λ dx = 0」や「dx Λ dy = -dy Λ dx」
外微分の話「dx Λ dx = 0」や「dx Λ dy = -dy Λ dx」
ネットを調べてみると上のような説明を発見した。
「dx Λ dx = 0」や「dx Λ dy = dz」になる理由だ。
だが、この時点では、さっぱりわからなかった。

 「dx Λ dy = -dy Λ dx」になる理由もあった。

「dx Λ dy = -dy Λ dx」になる理由
「dx Λ dy = -dy Λ dx」になる理由
わかったような、わからんような感じだった。
要するに、わからなかったという事だ。

 わからないのも当然で、外積代数や多様体、微分形式の知識がないと
理解できない話だからだ。
 なので、悪あがきせず、この時点で理解するのは断念したのだ。

 外積代数多様体微分形式などについては後述しています


電磁気学入門の目次
電磁気学入門:目次
スカラーとベクトル 簡単なスカラーとベクトルの話です。
ベクトルは方向と大きさを持つ量。方向という量持っているだけに注意が必要です。
静電気の発見からクーロンの法則 今でこそ当たり前の静電気や導体、絶縁体、電荷など
どういう経緯で発見し、クーロンの法則まで至ったのかの話です。
クーロン力、電場、近接作用 4つの力のうち、クーロン力の位置づけ
電荷が作り出す作用の電場。近接作用の話です。
微分、全微分、方向微分 簡単な微分、全微分、方向微分の話です。
ここをしっかり押さえないと、電磁気の数式の意味が
わからなくなります。
ベクトル解析 電磁気に必要なベクトル解析の話です。
勾配(grad)、2次元のグリーン定理
ストークスの定理の話です。
電位ポテンシャル 電位ポテンシャルです。勾配と電場の関係を使って説明しています。
電気双極子 電気双極子の話です。
物質中で起こる分極を理解するのに必要です。
ガウスの法則 ガウスの法則の積分形、微分形の話です。
ポアソンの方程式、ラプラス方程式 ポアソンの方程式、ラプラス方程式の話です。
単に電荷分布から電位を求めるだけの話にとどまらない
奥が深い分野です。ポテンシャル論、デルタ関数
グリーン関数、固有値問題について触れています。
静電場と渦なしの法則 静電場で、電荷を1周させた時の仕事はゼロ
微分形と微分形の渦なしの法則の話です。
ビオサバールの法則 電気と磁場の関係の発見の話から
ビオ・サバールの法則が導かれるまでの話です。
磁気双極子 磁気双極子の話で、回転電流になります。
物質中の磁場の話にも関連します。
アンペールの法則 アンペールの法則の話です。
積分形・微分形だけでなく、閉回路に流れる電流が作る
磁気双極子の話なども書いています。
ローレンツ力 磁場中を移動する電荷にかかる力(ローレンツ力)の話です。
ローレンツ力は相対性理論が絡んでいる事も紹介しています。
ファラデーの誘導起電力の法則 ファラデーの誘導起電力の話です。
うず電流を使った簡単な物理実験 電力計に使われるアラゴの円盤。
そしてIH調理器で熱するために発生させる、うず電流は
レンツの法則から電流が発生する原理を応用した物だ。

アラゴの円盤の実験と、IH調理器を使った実験です。
気分転換で読んでください。
ベクトルポテンシャル わかりにくいベクトルポテンシャルの話です。
電位は電荷が作る電気のポテンシャルだが
ベクトルポテンシャルは電流が作る磁場のポテンシャルの話です。
オームの法則の微分形 微小領域でのオームの法則の話です。
マックスウェルの方程式 4つのマックスウェルの方程式を書いています。
電場と磁場の変化を図にする事で
rotの回転の意味も理解できます。
ゲージ変換 ゲージ(gauge)は物差しの意味です。
マックスウェルの方程式をE(電場)とB(磁場)の関係式から
φ(電位ポテンシャル)とA(ベクトルポテンシャル)の関係式に
書き換える際、ゲージ変換が使われます。
ゲージ変換の役目を書きました。
電磁波 マックスウェルの方程式から電波が伝わる様子を
視覚的に見てみる話です。
回転のrotはベクトルの微分 ベクトル解析や渦なしの法則で出てくるrotは
ベクトルの微分という話です。
電磁気学の単位系 電磁気学の単位系の話です。
物理量の単位系の指数を見る次元解析
電磁気学の歴史と単位系の変遷について触れました。
電気泥棒:電気と法律の話 電気は物体なのか、無形物なのか。
明治時代に、電気を無断で使った場合、物か、そうでないかで
窃盗罪になるかどうかが裁判で問われました。
ちょっとした科学と法律の話です。気分転換で読んでください。
数ベクトルと基底ベクトル ベクトルの話です。
矢印だけがベクトルでない事。
数ベクトルと基底ベクトルの違いの話です。
多様体、反変・共変ベクトルを理解するのに必要です
多様体 空間を一般化した話です。
▽(ナブラ)の正体に迫まります
外積代数 外積、テンソルについて書いています。
極性ベクトル、軸性ベクトル
外積は行列で、ベクトルは見せかけの姿だった話です。
ベクトルの双対関係 反変ベクトル、共変ベクトル、双対関係
ベクトル解析、外積代数の話
外積、テンソルについて書いています。
ローレンツ力と相対性理論 磁場は電場の相対論的効果だった話です。
ローレンツ力を使って、導線が作る磁場を使って説明です。
微分形式 多様体の話の続きです。
座標に依存しない形での関数やベクトルの微分の話です。
ガウスの法則、アンペールの法則、マックスウェルの方程式が
鮮やかな形で表現できます。
∇(ナブラ)の正体もわかります。
物理と対称性 マックスウェルの方程式をよく見ると対称性があります。
物理の方程式と対称性を数学的な観点でみると
意外なつながりがあるという話です。
マックスウェルの応力 電気力線を弾性体(ゴム)とみなして、力の伝わり方などを
説明した考え方です。
電場エネルギー 電場が持つエネルギーの式を導いた話です。
磁場エネルギー 磁場が持つエネルギーの式です。
手抜きの説明と、直流RL回路を使った説明を書きました。
ポインティングベクトル 電磁エネルギーの流れ「ポインティングベクトル」の話です。
電磁波でもエネルギー保存則が成り立つ話から
ポインティングベクトルを導いています。
電気エネルギーは導線の外を伝わる 導線の外を電気エネルギーが流れる話です。
私が誤解した事、その誤解を解いていく過程を紹介しながら
「目からウロコ」にたどり着いた話です。
物質中の電場 物質中の電場の話です。
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物質中の磁場 磁性の話をしながら、物質中の磁場の話をします
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表皮効果 目的の表皮効果の話です。

マックスウェルの方程式を解きながら
交流電流の周波数を上げると、表面にしか電流が流れなくなる話です。



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