システム奮闘記：その105

電磁気学で使うベクトル解析

(2016年5月22日に掲載)

ベクトル解析

　電磁気学で重要になるのは勾配のgrad。
　そしてグリーンの定理とストークスの定理。

　グリーンの定理、gradの勾配、ストークスの定理の順番に説明していく。

　ベクトル解析の本だと、数式ばかりでわかりにくい上
電位を使った説明だと、目に見えないだけに、わかりにくい。

　そこで全微分の時に温度を使った話で説明する。


2次元のグリーンの定理

　2次元のグリーンの定理なのだが、なぜ「2次元」という枕詞をつけるのか。
　なぜなら・・・

　他にもグリーンの定理があるのらー!!

2次元のグリーンの定理について
別名「平面のグリーンの定理」とも呼ばれるベクトル解析などの数学書には出てくる定理なのだが電磁気の本では、軽く触れる程度だったり名前が出てこない場合もある。今から説明する「2次元のグリーンの定理」は数学で言うグリーンの定理になるのだ。


　というわけで混乱を避けるため、ここでは「2次元」という枕詞をつけて
話を進めていく事にする。

2次元のグリーンの定理の式

一般的なベクトル解析の本だと、上図のようにベクトル場において、P→Qへ線積分した際(左辺) 経路に関係なく同じ値になるための条件が右辺になるというのだ。


　だが、数学書だと・・・

　抽象的でわからへん!

　なのだ。

　誤解のないように書くが、抽象的な内容を書いている
著者を批判する意図はないし、数学科の先生を批判する気はない。

　要するに・・・

　私の頭だと抽象的な説明が理解できへんのだ!!


　そこで具体的な例として、微分、全微分、方向微分の話で出てきた熱分布を用いて説明する事にした。

火を使って平面(板)を熱した時の平面(板)の温度分布

2変数(XY平面)の例として、これが一番かなぁと思ったりする。


　さて、板を熱した際、同心円状に温度分布ができる
　微小領域を選んで、経路による温度上昇度を見てみる。

経路に関係なく温度上昇は同じ

P→Qへ移動する際、2つの経路がある。どっちの経路を使っても、温度上昇は同じなのだ。そのためP→A→Q→B→Qと一周すると、温度上昇はゼロになる。ただし経路は反時計回りになるようにする。


　ところで・・・

　なんで反時計回りやねん!!

　なのだ。

　どっち回りでもゼロになれば問題ないはず。
　なぜ反時計回りにこだわるのか。

反時計回りについて
当初、反時計回りになる事すら疑問に思わなかった。だが、この資料を作成していると、本に書いている式と私が計算した物では符号が反対になっているのに気づき反時計回りの経路になっている事がわかった。あとに書いている外積代数の所で取り上げているが直交座標系には右手系と左手系がある。ここで出ている右手系の座標系の場合反時計回りが正の方向の回転で、時計回りが負の方向のようだ。

反時計回りについて

当初、反時計回りになる事すら疑問に思わなかった。
だが、この資料を作成していると、本に書いている式と
私が計算した物では符号が反対になっているのに気づき
反時計回りの経路になっている事がわかった。

あとに書いている外積代数の所で取り上げているが
直交座標系には右手系と左手系がある。
ここで出ている右手系の座標系の場合
反時計回りが正の方向の回転で、時計回りが負の方向のようだ。


　ところで微小領域を2つ重ねるとどうなるのか?

微小領域を2つ重ねる

2つの微小領域の1周分した時の温度上昇の和はゼロ。微小領域を2つ重ねて、外周を1周した場合の温度上昇はゼロになる。


　微小領域を大量に重ねた場合を見てみる。

微小領域を大量に重ねた場合

大回りしても温度上昇はゼロ。個々の微小領域を一周した時の温度上昇の和を、合計したのもゼロ。大回りした経路と、個々の微小領域を1周した物の合計が同じになる式が 2次元のグリーンの定理になる。 2次元のグリーンの定理は、ベクトル場で適用できる式だ。


　この式を見た時は、何も思わなかった。
　だが、ある資料に、次のような事が書いていた。
　グリーンの定理、次に出てくるストークスの定理は・・・

　周辺の状態から、内部の状態を見る式

　というのだ。

　確かにある領域を大回りして変化がゼロの場合、内部の微小領域でも
同じ事が起こっている。
　詳しい事は後述しています。


勾配の grad

　実は勾配の話は全微分の所で出てきたのだ。

　勾配ベクトル

　なのだ。
　ただ、ここで大事なのは勾配ベクトルではなく
関数の勾配を求める際の表記法なのだ。


　まずは2次元の場合を考える。

勾配(grad)とは

grad　そのものは、勾配ベクトルを表わすための表記法にすぎない。勾配ベクトルを求める際、微分作用素を∇(ナブラ)を使って表現できる。この先、どんどん∇が出てくるのだ。


　ところで、多変数関数を全微分する事によって勾配ベクトルが求められる。
　そして関数の値はスカラーなのだが、微分作用素を使う事で

　スカラー関数をベクトルに変換

　しているのだ。

　学生時代、そんなことには気づかなかった。
　いかに数学を勉強していなかった事がバレバレなのだ。



　次に3次元の場合の関数の勾配を求める。
　ここでも電荷の話に入らず熱を使った説明を行なう。

3次元の熱分布を考える

かがり火があると、その周囲は球状に熱の等高線ができる。
例に使うのに最適なのだ。

(余談)
六甲八幡神社の、かがり火だ。
神戸に住んでいた時の、近所の神社だ。
阪急六甲駅を拡張した時、八幡さんのご神木を切る事になったため
それ以来、阪急電鉄とは険悪の関係という話があるようだが
真偽は定かではない。


　かがり火の付近の領域で、2点間の温度差を求めてみる。

かがり火の付近の領域で、2点間の温度差を求めてみる

点Pと点Qの温度差を求めてみる。全微分の式が求まる。


　もし、2点間の温度差がゼロの場合を考える

2点間の温度差がゼロの場合を考える

温度上昇がゼロの場合、動いていないかもしくは等高線上を移動している事になる、


　温度上昇がゼロの場合、移動方向と勾配ベクトルの関係を見てみる。

温度上昇がゼロの場合、移動方向と勾配ベクトルの関係

温度等高線は球状になっている。球の上を移動した場合、温度上昇がゼロになる。勾配ベクトルは、球の表面に垂直方向(熱源の方)を向いている。


　ところで、電磁気学では微分演算子の▽(ナブラ)を見る。
　勾配の場合、▽(ナブラ)を使った以下の表現を行なう。

▽(ナブラ)を使って勾配を表現

「▽T(x,y,z)」という表現で、関数T(x,y,z)に作用している形で表現しているのだ。


　ところで、▽(ナブラ)とは、一体、何だろうと思いたくなる。

▽(ナブラ)とは、一体、何だろう

学生時代、電磁気学を習った時、▽(ナブラ)が出てきた。
その時は、単に計算上出てくる記号だと思っていた。

任意の3次元のスカラー関数から、勾配を求めるための
微分作用素だというのが、ここでわかった。

だが、これだけでは終わらない。
それについては後述していますので、お楽しみに!!



ストークスの定理

　2次元のグリーンの定理を3次元に拡張したのが
ストークスの定理になる。

ストークスの定理の式

一般的なベクトル解析の本だと、上図のようにベクトル場において、P→Qへ線積分した際(左辺) 経路に関係なく、同じ値になるための条件が右辺になるというのだ。


　だが、抽象的な内容だと理解できないので、
ここでも、熱分布を例にして考えるのだ。


　まずは3次元の場合の微小領域で見てみる。
　長方形の端から端までの経路の温度上昇を求めてみるのだ。

3次元の場合の微小領域での温度上昇

P→A→B→Qの経路での温度上昇を求めてみる。なぜ、yz平面(長方形ABQC)を1周する形にしたのかは、すぐ後でわかります。


　そして次に、もう1つの経路を求めてみる

もう1つの経路での温度上昇

P→A→C→Qの経路での温度上昇を求めてみる。


　そして求まった2つの経路での温度上昇の差から
ぐるっと1周した時の温度上昇を求めてみる。

1周した時の温度上昇について

ぐるっと1周して元に戻るため、温度上昇はゼロになる。ただし、2つの式は異なるため、式の差が出てくる。この時の式の差は、長方形ABQCの経路を1周した時の 2次元のグリーンの定理の形になっている。


　点Pと点Qまでの経路は、何通りもある。
　そこで別の経路の差で考えてみる。

DCQEを1周する経路で考えてみる

この場合、長方形DCQEの経路を1周した時の 2次元のグリーンの定理の形になっている。


　今度は、長方形PACDを1周した形で考えてみる。

長方形PACDを1周した形で考えてみる

長方形PACDを1周した時の2次元のグリーンの定理の形になっている。


　ここで、以下の事に気づく人は多いと思う。
　3次元の経路を考える場合、いかなる経路を通っても同じという事を言うには

　3つの2次元のグリーンの定理を満たす必要があるのでは?

3つの2次元のグリーンの定理を満たす必要があるのでは?

3つの2次元のグリーンの定理を同時に満たしてこそいかなる経路を通っても、温度上昇の変化は同じと言えるのではないか。だが、ここまでの話では、同時に満たす式を導いていない。


　そこで経路にあたる長方形が、任意の方向を向いている場合を考えてみる。
　そこで以下の場合を考えてみた。

経路にあたる長方形が任意の方向を向いている場合

経路に当たる長方形が斜め向いている。長方形の辺が、どの軸にも並行にならないようにすれば経路による温度差の式が、任意の場合に成り立つ式になると考える。


　計算してみる。

長方形PKQLの1周した時の温度上昇の計算・第1段階

ここではP→KとQ→Lの場合の温度上昇の和を求めてみた。並行する辺同士の温度上昇の和を計算するのは計算を楽にするためなのだ。


　残り2辺の計算を行なう。

長方形PKQLの1周した時の温度上昇の計算・第2段階

K→QとL→Pの温度上昇の和を求めてみた。


　2つの「2つの辺での温度上昇」が出てきたので、それの和を求める。
　すると3つの「2次元のグリーンの定理」を含んだ式が求まる。

　その前に、ストークスの定理には外積(クロス積)が出てくるので
外積を軽く説明する。

外積(クロス積)の定義

大学の理工系なら線形代数で習う外積(クロス積)。
2つのベクトルの積が、2つのベクトルに垂直方向で
しかも2つのベクトルが作る平行四辺形の面積になる物だ。

「なぜそうなるのか」の質問はしてはいけない。
外積(クロス積)の計算規則なので、決まりとして受け入れるのだ。

(注意)
線形代数では外積といえば上に書いているクロス積の事を指す。
だが外積には、もう1つ、ウェッジ積というのがある。
それについては外積代数の所で書いています。


　外積の定義をしたので、ストークスの式を見てみる。

経路PKQLでの温度上昇

3つの「2次元のグリーンの定理」を含んだ式が求まる。


 この式の意味を考える。

求まった式の意味を考える

求まった面積は長方形の面積だ。ベクトルは長方形の平面に垂直方向のベクトルになる。


　微小な長方形を寄せ集めた場合を考える。

微小な長方形を寄せ集めた場合を考える

大回りした場合の温度上昇はゼロ。微小な長方形を1周した時も温度上昇はゼロ。微小な長方形の温度上昇の和もゼロ。 3次元版の「2次元のグリーンの定理」が求まる。この式がストークスの定理になるのだ。


　3つの「2次元のグリーンの定理」を含んだ式が

　ストークスの定理

　なのだ。

求まったストークスの定理を一般化すると

ベクトル場において、閉曲面の外周を1周する際に足し合わせたベクトルと、
閉曲面内で細切れにした微小な領域(面積)と、その面と垂直方向のベクトルの積を
合計した物が同じという意味だ。

ところで微分作用素で、スカラー関数の勾配を求める∇(ナブラ)が出てきた。
でも、ここでは、微分作用素がベクトルの形になっていて
ベクトルと同じ計算が成り立つという事だけに留めます。
∇(ナブラ)については後述していますので、お楽しみにしてください。


　ここで出でくる疑問。

　ストークスの定理は何に使えるねん?

　確かに、このままでは無味乾燥で、意味不明になってしまう。
　だが、電場や磁場の状態を表現するのに適用すれば
ストークスの定理が、具体的な意味を帯びた式になってくる。

　その話は静電場と渦なしの法則で取り上げます。


電磁気学入門の目次

電磁気学入門:目次
スカラーとベクトル	簡単なスカラーとベクトルの話です。ベクトルは方向と大きさを持つ量。方向という量持っているだけに注意が必要です。
静電気の発見からクーロンの法則	今でこそ当たり前の静電気や導体、絶縁体、電荷などどういう経緯で発見し、クーロンの法則まで至ったのかの話です。
クーロン力、電場、近接作用	4つの力のうち、クーロン力の位置づけ電荷が作り出す作用の電場。近接作用の話です。
微分、全微分、方向微分	簡単な微分、全微分、方向微分の話です。ここをしっかり押さえないと、電磁気の数式の意味がわからなくなります。
ベクトル解析	電磁気に必要なベクトル解析の話です。勾配(grad)、2次元のグリーン定理ストークスの定理の話です。
電位ポテンシャル	電位ポテンシャルです。勾配と電場の関係を使って説明しています。
電気双極子	電気双極子の話です。物質中で起こる分極を理解するのに必要です。
ガウスの法則	ガウスの法則の積分形、微分形の話です。
ポアソンの方程式、ラプラス方程式	ポアソンの方程式、ラプラス方程式の話です。単に電荷分布から電位を求めるだけの話にとどまらない奥が深い分野です。ポテンシャル論、デルタ関数グリーン関数、固有値問題について触れています。
静電場と渦なしの法則	静電場で、電荷を1周させた時の仕事はゼロ微分形と微分形の渦なしの法則の話です。
ビオサバールの法則	電気と磁場の関係の発見の話からビオ・サバールの法則が導かれるまでの話です。
磁気双極子	磁気双極子の話で、回転電流になります。物質中の磁場の話にも関連します。
アンペールの法則	アンペールの法則の話です。積分形・微分形だけでなく、閉回路に流れる電流が作る磁気双極子の話なども書いています。
ローレンツ力	磁場中を移動する電荷にかかる力(ローレンツ力)の話です。ローレンツ力は相対性理論が絡んでいる事も紹介しています。
ファラデーの誘導起電力の法則	ファラデーの誘導起電力の話です。
うず電流を使った簡単な物理実験	電力計に使われるアラゴの円盤。そしてIH調理器で熱するために発生させる、うず電流はレンツの法則から電流が発生する原理を応用した物だ。アラゴの円盤の実験と、IH調理器を使った実験です。気分転換で読んでください。
ベクトルポテンシャル	わかりにくいベクトルポテンシャルの話です。電位は電荷が作る電気のポテンシャルだがベクトルポテンシャルは電流が作る磁場のポテンシャルの話です。
オームの法則の微分形	微小領域でのオームの法則の話です。
マックスウェルの方程式	4つのマックスウェルの方程式を書いています。電場と磁場の変化を図にする事で rotの回転の意味も理解できます。
ゲージ変換	ゲージ(gauge)は物差しの意味です。マックスウェルの方程式をE（電場）とB(磁場)の関係式から φ(電位ポテンシャル)とA(ベクトルポテンシャル)の関係式に書き換える際、ゲージ変換が使われます。ゲージ変換の役目を書きました。
電磁波	マックスウェルの方程式から電波が伝わる様子を視覚的に見てみる話です。
回転のrotはベクトルの微分	ベクトル解析や渦なしの法則で出てくるrotはベクトルの微分という話です。
電磁気学の単位系	電磁気学の単位系の話です。物理量の単位系の指数を見る次元解析電磁気学の歴史と単位系の変遷について触れました。
電気泥棒:電気と法律の話	電気は物体なのか、無形物なのか。明治時代に、電気を無断で使った場合、物か、そうでないかで窃盗罪になるかどうかが裁判で問われました。ちょっとした科学と法律の話です。気分転換で読んでください。
数ベクトルと基底ベクトル	ベクトルの話です。矢印だけがベクトルでない事。数ベクトルと基底ベクトルの違いの話です。多様体、反変・共変ベクトルを理解するのに必要です
多様体	空間を一般化した話です。 ▽(ナブラ)の正体に迫まります
外積代数	外積、テンソルについて書いています。極性ベクトル、軸性ベクトル外積は行列で、ベクトルは見せかけの姿だった話です。
ベクトルの双対関係	反変ベクトル、共変ベクトル、双対関係ベクトル解析、外積代数の話外積、テンソルについて書いています。
ローレンツ力と相対性理論	磁場は電場の相対論的効果だった話です。ローレンツ力を使って、導線が作る磁場を使って説明です。
微分形式	多様体の話の続きです。座標に依存しない形での関数やベクトルの微分の話です。ガウスの法則、アンペールの法則、マックスウェルの方程式が鮮やかな形で表現できます。 ∇(ナブラ)の正体もわかります。
物理と対称性	マックスウェルの方程式をよく見ると対称性があります。物理の方程式と対称性を数学的な観点でみると意外なつながりがあるという話です。
マックスウェルの応力	電気力線を弾性体(ゴム)とみなして、力の伝わり方などを説明した考え方です。
電場エネルギー	電場が持つエネルギーの式を導いた話です。
磁場エネルギー	磁場が持つエネルギーの式です。手抜きの説明と、直流RL回路を使った説明を書きました。
ポインティングベクトル	電磁エネルギーの流れ「ポインティングベクトル」の話です。電磁波でもエネルギー保存則が成り立つ話からポインティングベクトルを導いています。
電気エネルギーは導線の外を伝わる	導線の外を電気エネルギーが流れる話です。私が誤解した事、その誤解を解いていく過程を紹介しながら「目からウロコ」にたどり着いた話です。
物質中の電場	物質中の電場の話です。分極の話をしながら、物質中の電場の話をします
物質中の磁場	磁性の話をしながら、物質中の磁場の話をします
物質中のマックスウェルの方程式	物質中でもマックスウェルの方程式が成り立つ話です。
導体に侵入する電磁波	導体に侵入する電磁波が減衰していく話です。表皮効果と同じ「表皮の厚さ」が出てきます
表皮効果	目的の表皮効果の話です。マックスウェルの方程式を解きながら交流電流の周波数を上げると、表面にしか電流が流れなくなる話です。

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