システム奮闘記：その105

磁気双極子

(2016年5月22日に掲載)

電気双極子と磁気双極子の違い

　磁気双極子の話。
　これを知らないと、静磁場中のガウスの法則、渦なしの法則の話ができないのだ。
　物理は積み重ねの学問なので、着実に勉強を進めるしかないのだ。


　ところで磁気双極子は電気双極子とは、概念が異なるのだ。

　荷電粒子の場合

　正・負の点電荷の対

　の事を言う。

　だが、磁場には磁荷そのものは存在しない。
　正・負の磁荷はないので、電気双極子のような対で見る事はできない。

　そこで電流が流れる閉回路で、磁場の入りと出を正・負にみたてて

　磁気双極子

　と言っているのだ。


　言葉ではわかりにくいので図にしてみる。

電気双極子と磁気双極子の違い

電気双極子は、正・負の点電荷の対だ。電場の流れは、正から負に流れている。磁気双極子は磁場を発生させる、電流が流れる閉回路だ。正は磁場が回路から出ていく方向で、負は磁場が入ってくる方向だ。


　2つの違いは構成要素だけではないのだ。

双極子の近場と離れた場所では異なる

双極子の近くでは、電気双極子の電場の流れる方向と磁気双極子の磁場が流れる方向が異なってくる。だが、遠く離れた場所だと同じとみなして問題はない。



磁気双極子モーメント

　磁場の場合、磁気双極子は円電流になる事がわかった。
　そこで円電流が作る磁気双極子モーメントを見てみる事にした。

円電流で考える

磁気双極子は小さい円電流と考える。小さい円電流を拡大してみてみるのだ。


　円電流の場合、磁気双極子モーメントは次の式になる。

円電流の場合、磁気双極子モーメント

円電流でなく、正方形であっても、磁気双極子モーメントは経路内の面積Sと電流Iと真空中の透磁率の積のμoISになるのだ。


　だが、式だけ見せられても・・・

　なんで、こんな式になるねん!!

　全く見当がつかない。
　色々、調べても

　磁気モーメントを m = μoIS と定義する

　といった具合で、天下り的で、釈然としない内容ばかりだった。

　だが、ふとわかりやすい資料を発見した。
　磁気モーメントとg値(広島大学・学術情報リポジトリ)


　電場の式を使って、磁場でも使えると類推して
磁気双極子モーメントを求めるというのだ。

電場の式を使って、磁場でも使えると類推

電荷と磁荷電荷が作る電気双極子モーメントと、磁荷が作る磁気双極子モーメント。電位ポテンシャルと磁位ポテンシャル電場と磁場対応関係が成り立つと類推して、お目当ての円電流が作る磁気双極子モーメントを求めていくのだ。



　円電流の磁気双極子モーメントを求める方法は
磁荷で構成する磁気双極子が作り出す磁場と
円電流が作り出す磁場を求めて対比させる事を行うのだ。

磁荷による磁気双極子が作り出す磁場と円電流が作り出す磁場を求めて対比させる

円電流による磁気双極子を、磁荷で構成する磁気双極子に見立てて対比させながら、円電流が作る磁気双極子モーメントを求めるのだ。


　まずは磁荷で構成する磁気双極子が作る磁位ポテンシャルと
磁場を求めてみる。

磁荷で構成する磁気双極子が作る磁位ポテンシャルと磁場を求める

磁気双極子モーメントによる、rの位置での磁位ポテンシャルと磁場を求めるのだ。


　磁位ポテンシャルを微分したら、磁場になるので
先に磁位ポテンシャルを求める。

磁位ポテンシャルを求める

磁位ポテンシャルを求める。電荷で作る電位ポテンシャルと同様、足し合わせをする。


　でも、r1、r2のままでは使えないので、rとlの式に置き換える。

r1、r2のままでは使えないので、rとlの式に置き換える

余弦定理を使えば、置き換えができるという。


　だが・・・

　余弦定理なんて忘れてもうた!!

　20年ぐらい使っていないので、忘れてしまって当然なのだ。
　そこで復習する事にした。

余弦定理

三角形で、隣り合う2辺と真ん中の角度を使って、残り1辺の長さを求める公式なのだ。 cos(コサイン)が出てくるので、余弦という名前がつくのだ。


　余弦定理を使って磁位ポテンシャルの式を書き直す。

余弦定理を使って磁位ポテンシャルの式を書き直す

途中、テイラー展開を使った近似式を使っている。磁位ポテンシャルを、rとlとθの変数で表わせる式になったのだ。


　次に磁荷が作る磁気双極子モーメントを使って磁位ポテンシャルの式を書き直す。

磁荷が作る磁気双極子モーメントを使って磁位ポテンシャルの式を書き直す

磁荷で構成する磁気双極子モーメント(m)を使う。求めたいのは、この磁気双極子モーメント(m)になる。磁位ポテンシャルの式を、磁気双極子モーメント(m)を使った式に書き直す


　次に磁荷で構成する磁気双極子モーメントが作り出す
位置rでの磁場を求める。

位置rでの磁場を求める

電位ポテンシャルと電場との関係式と、磁位ポテンシャルと磁場でも成り立つと類推する。磁位ポテンシャルから磁場を求めてみる。


　磁場が求まった。

　位置rが、磁荷がある線上だとする。
　この場合の磁場を求めてみる。

位置rが、磁荷がある線上だとする

位置rが、磁荷がある線上の場合の、位置rでの磁場が求まった。



円電流がつくる中心の磁場

　次に対比させるため、円電流が作る磁場を求めてみる。
　早速、ビオサバールの法則を使うのだ。

円電流が作る磁場を求める

円電流が作る磁場が求まった。


　磁荷で構成する磁気双極子モーメントが作る磁場と
円電流が作る磁場とを比較する。

磁場の比較

磁気双極子モーメントが求まった。


　ところで閉回路内を流れる電流が作る磁気双極子モーメントは
円電流に限らず、どんな形状でも、磁気双極子モーメントの式は同じだという。

どんな形状でも、磁気双極子モーメントの式は同じ

私はめんどくさいので、正方形や無形状の場合を計算しなかったが「納得いかん、確かめてやる」という人は、是非、やってみてください。


　これで円電流が作る磁気双極子モーメントが求まったのだ。


電磁気学入門の目次

電磁気学入門:目次
スカラーとベクトル	簡単なスカラーとベクトルの話です。ベクトルは方向と大きさを持つ量。方向という量持っているだけに注意が必要です。
静電気の発見からクーロンの法則	今でこそ当たり前の静電気や導体、絶縁体、電荷などどういう経緯で発見し、クーロンの法則まで至ったのかの話です。
クーロン力、電場、近接作用	4つの力のうち、クーロン力の位置づけ電荷が作り出す作用の電場。近接作用の話です。
微分、全微分、方向微分	簡単な微分、全微分、方向微分の話です。ここをしっかり押さえないと、電磁気の数式の意味がわからなくなります。
ベクトル解析	電磁気に必要なベクトル解析の話です。勾配(grad)、2次元のグリーン定理ストークスの定理の話です。
電位ポテンシャル	電位ポテンシャルです。勾配と電場の関係を使って説明しています。
電気双極子	電気双極子の話です。物質中で起こる分極を理解するのに必要です。
ガウスの法則	ガウスの法則の積分形、微分形の話です。
ポアソンの方程式、ラプラス方程式	ポアソンの方程式、ラプラス方程式の話です。単に電荷分布から電位を求めるだけの話にとどまらない奥が深い分野です。ポテンシャル論、デルタ関数グリーン関数、固有値問題について触れています。
静電場と渦なしの法則	静電場で、電荷を1周させた時の仕事はゼロ微分形と微分形の渦なしの法則の話です。
ビオサバールの法則	電気と磁場の関係の発見の話からビオ・サバールの法則が導かれるまでの話です。
磁気双極子	磁気双極子の話で、回転電流になります。物質中の磁場の話にも関連します。
アンペールの法則	アンペールの法則の話です。積分形・微分形だけでなく、閉回路に流れる電流が作る磁気双極子の話なども書いています。
ローレンツ力	磁場中を移動する電荷にかかる力(ローレンツ力)の話です。ローレンツ力は相対性理論が絡んでいる事も紹介しています。
ファラデーの誘導起電力の法則	ファラデーの誘導起電力の話です。
うず電流を使った簡単な物理実験	電力計に使われるアラゴの円盤。そしてIH調理器で熱するために発生させる、うず電流はレンツの法則から電流が発生する原理を応用した物だ。アラゴの円盤の実験と、IH調理器を使った実験です。気分転換で読んでください。
ベクトルポテンシャル	わかりにくいベクトルポテンシャルの話です。電位は電荷が作る電気のポテンシャルだがベクトルポテンシャルは電流が作る磁場のポテンシャルの話です。
オームの法則の微分形	微小領域でのオームの法則の話です。
マックスウェルの方程式	4つのマックスウェルの方程式を書いています。電場と磁場の変化を図にする事で rotの回転の意味も理解できます。
ゲージ変換	ゲージ(gauge)は物差しの意味です。マックスウェルの方程式をE（電場）とB(磁場)の関係式から φ(電位ポテンシャル)とA(ベクトルポテンシャル)の関係式に書き換える際、ゲージ変換が使われます。ゲージ変換の役目を書きました。
電磁波	マックスウェルの方程式から電波が伝わる様子を視覚的に見てみる話です。
回転のrotはベクトルの微分	ベクトル解析や渦なしの法則で出てくるrotはベクトルの微分という話です。
電磁気学の単位系	電磁気学の単位系の話です。物理量の単位系の指数を見る次元解析電磁気学の歴史と単位系の変遷について触れました。
電気泥棒:電気と法律の話	電気は物体なのか、無形物なのか。明治時代に、電気を無断で使った場合、物か、そうでないかで窃盗罪になるかどうかが裁判で問われました。ちょっとした科学と法律の話です。気分転換で読んでください。
数ベクトルと基底ベクトル	ベクトルの話です。矢印だけがベクトルでない事。数ベクトルと基底ベクトルの違いの話です。多様体、反変・共変ベクトルを理解するのに必要です
多様体	空間を一般化した話です。 ▽(ナブラ)の正体に迫まります
外積代数	外積、テンソルについて書いています。極性ベクトル、軸性ベクトル外積は行列で、ベクトルは見せかけの姿だった話です。
ベクトルの双対関係	反変ベクトル、共変ベクトル、双対関係ベクトル解析、外積代数の話外積、テンソルについて書いています。
ローレンツ力と相対性理論	磁場は電場の相対論的効果だった話です。ローレンツ力を使って、導線が作る磁場を使って説明です。
微分形式	多様体の話の続きです。座標に依存しない形での関数やベクトルの微分の話です。ガウスの法則、アンペールの法則、マックスウェルの方程式が鮮やかな形で表現できます。 ∇(ナブラ)の正体もわかります。
物理と対称性	マックスウェルの方程式をよく見ると対称性があります。物理の方程式と対称性を数学的な観点でみると意外なつながりがあるという話です。
マックスウェルの応力	電気力線を弾性体(ゴム)とみなして、力の伝わり方などを説明した考え方です。
電場エネルギー	電場が持つエネルギーの式を導いた話です。
磁場エネルギー	磁場が持つエネルギーの式です。手抜きの説明と、直流RL回路を使った説明を書きました。
ポインティングベクトル	電磁エネルギーの流れ「ポインティングベクトル」の話です。電磁波でもエネルギー保存則が成り立つ話からポインティングベクトルを導いています。
電気エネルギーは導線の外を伝わる	導線の外を電気エネルギーが流れる話です。私が誤解した事、その誤解を解いていく過程を紹介しながら「目からウロコ」にたどり着いた話です。
物質中の電場	物質中の電場の話です。分極の話をしながら、物質中の電場の話をします
物質中の磁場	磁性の話をしながら、物質中の磁場の話をします
物質中のマックスウェルの方程式	物質中でもマックスウェルの方程式が成り立つ話です。
導体に侵入する電磁波	導体に侵入する電磁波が減衰していく話です。表皮効果と同じ「表皮の厚さ」が出てきます
表皮効果	目的の表皮効果の話です。マックスウェルの方程式を解きながら交流電流の周波数を上げると、表面にしか電流が流れなくなる話です。

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