システム奮闘記：その105

物質中の磁場と磁性体

(2016年5月22日に掲載)

磁石と磁性体

　物質中の磁場の話をする。
　物質中でもマックスウェルの方程式が成り立つ事を示すための準備なのだ。
　

　鉄は磁石にくっつく。木片は磁石にくっつかないのは、よく知っている話。

鉄は磁石にくっつく。木片は磁石にくっつかない


　小学校の実験で、磁石にくっついた鉄が、磁石になる話がある。

鉄は磁石になる

鉄に限らず、磁石にくっつく物質は、磁石にくっつけると磁石になる。木片と磁石を接着剤でつけても、木片は磁石にはならない。小学校の理科の実験なのだ。


　なぜ、鉄が一時的に磁石になる現象。
　電磁気の本を追いながら、鉄が磁石になる現象を見ていく事にした。


　磁性体という言葉が出てくる。
　物質の分類で常磁性体、強磁性体、反磁性体の言葉も出てくるが・・・

　その違いがわからへん!!

　学生時代に習った事なので忘れたのか、それとも講義中に内職してたり、
講義サボっていたため、聞かなかったのかは、20年前なのでわからない。

　そこで改めて勉強する事にした。
　教科書だけでなく、色々、資料も探して見た。

　電磁気学2 講義第11回 Chapter 6  Magnetic Fields in Matter （物質中の磁場)(東京理科大)
　基礎現代化学 分子集合体とその性質：物質の磁性(東大)
　電気磁気学III(名城大学理工学部材料機能工学科)

　まずは磁性という言葉を意味を調べてみる。

　磁性とは

　磁気的性質

　で、磁性体とは

　磁気的性質を帯びた物質の総称

　なのだ。

原子核と磁気双極子

　常磁性体、反磁性体の意味を知る前に、物質が磁石になる仕組みを見てみる。
　磁石の正体は、原子核が作り出す磁気双極子の集まりと言われている。
　そこで・・・

　原子核が磁気双極子になる仕組み

　を見ていくのだ。

原子核と電子

お馴染みの原子核と電子の絵だ。古典物理で考えるので、ボーアの原子核模型で考える。


　原子核を公転する電子に注目する。
　電子の自転軸でスピンというのがある。

原子核を公転する電子の自転(スピン)に注目

電子は自転している。電子の自転(スピン)が磁場の源になる。


　なぜスピンが磁場を作り出しているのか。

　量子力学を勉強してへんから、わからへん!

　とキッパリ答える私。

　量子力学を書き出したら、一生かかっても、この原稿が完成しないので
お話だけでとどめておく。


　ところで原子核の周囲を回る電子は、1つの軌道に2つまで存在できる。
　電子は自転するが、その向きが重要になる。


　まずは2つの電子の自転(スピン)の向きが同じ場合を見てみる。

2つの電子の自転(スピン)が向きが同じ場合

同じ向きなので、打ち消しあう事なく、磁気双極子になる。具体的には、鉄、コバルト、ニッケルだ。


　2つの電子の自転(スピン)が異なる場合はどうなるのか。



反対の向きなので、打ち消しあって、磁気双極子ではなくなる。具体的には、水、銀、銅、木片、炭素などだ。


　そこで物質を3つに分ける事ができる。

　強磁性体、常磁性体、反磁性体

　なのだ。

強磁性体、常磁性体、反磁性体

強磁性体とは、磁気双極子の性質を持つ原子で構成されていて
しかも、同じ向きに並んでいるため、磁石の性質を持つ物質なのだ。

常磁性体とは、磁気双極子の性質を持つ原子で構成されているが
バラバラに並んでいるため、全体として打ち消しあって、磁石にならない物質なのだ。

反磁性体とは、磁気双極子の性質を持たない原子で構成されている。
そのため、磁石にならないのだ。


　磁石とは強磁性体

　だったのだ。初めて知った。


　鉄、ニッケルなどの常磁性体に、磁石を近づけるとどうなるのか。

鉄、ニッケルなどの常磁性体に、磁石を近づける

常磁性体の中の原子が作る磁気双極子の向きが磁石によって並んだしまう。このため、常磁性体に磁石をくっつけると、磁石の性質を持つようになるのだ。


　小学校の実験で、鉄に磁石をくっつけると鉄が磁石になる現象は

　鉄が常磁性体だから

　なのだ。初めて知った。

磁石の作り方
鉄などの常磁性体を強い磁場に当てると磁気双極子が整列したまま、元に戻らなくなったりする。これが磁石を作る原理なのだ。反対に磁石に火をさらすと、磁石の性質を失ってしまう。熱のエネルギーにより、中の原子が動きだし原子が作る磁気双極子の向きがバラバラになるためだ。


　ところで反磁性体に磁石を近づけるとどうなるのか？

反磁性体に磁石を近づけるとどうなるのか？

何も起こらない気がするが、そうではないのだ。


　スピンの向きが異なる2つの電子を持った原子核を見てみる。

スピンの向きが異なる2つの電子を持った原子核

この原子核に外部から磁場を当てるとどうなるのか。


　量子力学は使わず(私がわからへん!!)、古典物理を使ってみていく。

　そして

　電子の回転を電流

　として考えてみるのだ。

電子の速度と遠心力の関係

何もない状態での、電子の回転速度と遠心力との関係式を求める。


　次に磁場を当てた場合を考えてみる。

磁場を当てた場合の、電子の速度と遠心力の関係

わかりやすく、原子核の下から磁場を当てる場合を考える。動いている電子に磁場が当たる事で、ローレンツ力が働き原子核の中心方向に力が働くのだ。ローレンツ力により原子核の中心方向に落ち込むのを防ぐため電子は速度を上げて、軌道の位置を維持しようとする。


　磁場を当てた場合の力のつりあいを求めてみる。

磁場を当てた場合の力のつりあいを求めてみる

磁場を当てた場合の力のつりあいを求めてみる。力の釣り合いがとれている状態での、電子の速度をVBとしている。


　磁場を当てたため、電子の速度が、どれくらい変化したのか
速度の変化を求めてみる。

力の釣り合いが取るために、変化した電子の速度分を求めてみる

電子の速度の変化分が求まった。


　原子核の周囲を回る電子が作る磁気双極子モーメントの大きさは以下の式になるという。

原子核の周囲を回る電子が作る磁気双極子モーメントの大きさ

上図の電子が作る磁気双極子モーメントの式はディラックによる相対論的量子力学を用いないと求められない式なのだ。もちろん、導き方は全くわからないので、丸写ししかないのだ。


　相対論や量子力学を活用しないと

　反磁性体の説明ができへん!!

　というのだ。


　仕方がない。電子が作る磁気双極子の式を丸写しして前に進む。

　ところで反磁性体の場合、スピンが打ち消しあっているため
磁気双極子の式からスピンを消す事ができる。

　そこで電子の速度の増加分から、磁気双極子モーメントの増加分を求めてみる。

電子の速度の増加分から、磁気双極子モーメントの増加分を求めてみる

電子の公転速度の増加分から、磁気双極子モーメントの増加分を求めた。向きは外部の磁場と反対の向きになっているというのだ。


　ここで気づいた。
　電子が作る磁気双極子モーメントには、電子の公転の角運動量がある事だ。
　反磁性体であっても電子は公転しているので、磁気双極子モーメントはある。

　でも、反磁性体の説明の資料等では、磁気双極子は作らないと書いていたし、
私も、それを丸写しをした。

　どう説明したらエエのか、わからへん!!

　だが、開き直る。
　相対論も量子力学もわからないのに、説明なんてできやしない。

　前に進む事にした。

反磁性体の特徴

反磁性体の特徴は、磁石を近づけると、先ほど説明したとおり内部で磁場の向きとは反対方向の、磁気双極子が発生する。磁力を打ち消しあう方向になるのだ。


　反磁性体。身近な存在である。

　水は反磁性体なのらー!!

　もちろん、そんな事は、今まで知らなかったのだ。

水は反磁性体

水は反磁性体だが、弱いため、通常、磁石を近づけても反発はしない。だが、超伝導磁石という強力な磁石を使うと、反磁性体の現象が発生する。


　その現象とは

　モーゼ効果

　なのだ。

モーゼ効果

超伝導磁石を近づけると、水が反発して、モーゼの海割りのような
現象が起きるのだ。そんな話、知らなかった。

旧約聖書の出・エジプトで、モーゼが海割りは、もしかしたら神(宇宙人)がやってきて
巨大な超伝導磁石によって、海割りを引き起こしたのかもしれない。
でも、そんな強烈な磁場を人体が浴びて大丈夫なのかと疑問に思う。


　他にも反磁性体による現象としたら、超伝導体に磁場を当てると

　マイスナー効果

　が出たりする。

磁化ベクトルとアンペールの法則

　常磁性体、反磁性体に磁場を当てる事で、磁気双極子モーメントを
持つようになる事を

　磁化

　というのだ。


　分極の話ででてきた、物質内でできた電気双極子モーメントを
単位体積辺りに直したのが、分極だった。

　同じように物質内でできた磁気双極子モーメントで
単位体積辺りに直したのが

　磁化ベクトル

　なのだ。

磁化と磁化ベクトル

常磁性体、反磁性体に磁場を当てる。常磁性体の場合は、磁気双極子が整列する。反磁性体の場合は、原子が磁気双極子になり、整列する原子が磁気双極子モーメントを持つ事を磁化という。そして単位体積辺りの磁気双極子モーメントを磁化ベクトルというのだ。


　磁化ベクトル。磁気双極子があるからできるベクトルなのだが
磁気双極子は、回転電流があるからできるのだ。

磁化ベクトル発生には回転電流があると考える

磁気双極子の源は回転電流だ。そこで磁化ベクトルにも回転電流があると考える。


　ところで物質の断面を見てみる。
　磁化ベクトルが均一の場合を考える。

物質の断面(磁化ベクトルが均一の場合)

物質の断面を見ると、磁化ベクトルがある。磁化ベクトルの源の、回転電流が渦を巻いているのだ。


　ところで断面の内部では回転電流の渦は打ち消しあっている。

断面の内部では回転電流の渦は打ち消しあっている (磁化ベクトルが均一の場合)

回転電流が打ち消しあって、表面のみ電流が流れるようになっている。


　この場合、磁化ベクトルと表面を回転する電流の関係式を考える。

磁化ベクトルと表面を回転する電流の関係式 (磁化ベクトルが均一の場合)

磁気双極子モーメントは「μoIS」になる。なぜそうなるのかと思った人は、もう1度、磁気双極子の話の部分を読んでください。磁化ベクトルと表面を流れる電流の関係式が出てくる。上図では断面は円で描いているが、四角形でも楕円でも関係式は同じなのだ。


　次に、磁化ベクトルが不均一の場合の物質の断面を見てみる。

磁化ベクトルが不均一の場合の物質の断面

絵が下手なので、不均一に見えないかもしれないがご容赦願いたい（笑）


　この場合の磁化ベクトルの式を求めてみる。
　物質内の微小領域を見てみる事にした。

物質内の微小領域を見てみる

2つの微小領域を取り、Z軸の向きの磁化ベクトルと、Y方向の電流を考えてみる。


　早速、計算してみる。

物質内の微小領域で磁化ベクトルと電流の関係式を求めてみる

磁化ベクトルのX軸方向の変化量(Z軸向きベクトル)とY方向の電流の関係式が求まった。


　Y軸方向の電流の発生は、もう1つある。

物質内の微小領域を見てみる:その2

X軸方向の磁化ベクトルと、Y軸方向の電流だ。


　同様に、関係式を計算してみる。

物質内の微小領域で磁化ベクトルと電流の関係式を求めてみる:その2

磁化ベクトルのZ軸方向の変化量(X軸向きベクトル)とY方向の電流の関係式が求まった。


　これらを足し合わせると、以下のようになる。

Y軸方向の電流と磁化ベクトルとの関係式

磁化ベクトルの変化量とY軸方向の電流の関係式が出た。


　残り2方向(X軸とZ軸)の電流と、磁化ベクトルの関係式を求めてみた。
　すると以下の関係が成り立つのだ。

磁化ベクトルと電流の関係式

求まった磁化ベクトルと電流の関係式は、アンペールの法則の微分形とそっくりだ。磁化ベクトルは、磁気双極子が作る磁束密度に値するのだ。


　ところで、磁気双極子は磁場によって整列する。
　そのため磁場と磁化ベクトルは比例関係にあるというのだ。

磁場と磁化ベクトルは比例関係にある

磁場と磁化ベクトルは比例関係にあるため、比例定数を使って関係式を出す事ができる。比例定数を磁化率という。確かに磁場を当てて、どれくらい磁化ベクトルができるのかが決まるのでわかりやすい名前の比例定数なのだ。


　外部から磁場が当てられた物質中の様子を見てみる。

外部から磁場が当てられた物質中の様子

物質中の単位面積を貫く磁束は、磁場由来の物と磁化ベクトル由来の2つになる。 2つ足し合わせる事によって、物質中の磁束密度が求まる。


　ところで磁化ベクトルは、磁場に比例している。
　そこで物質中の磁束密度を以下のように書き換えができる。

物質中の磁束密度

物質中の磁束密度と磁場の関係式がでてきた。 μoは真空中の透磁率で、μは物質中の透磁率になる。


　外部から磁場を当てた場合だが、外部も物質内部も磁力線の数は同じだ。
　そのため、外部の磁束密度と物質中の磁束密度は同じになり、以下の関係式が求まる。

外部の磁束密度と物質中の磁束密度は同じ

透磁率が高いほど、磁力が小さくても、磁力線の本数が通る。反対に、透磁率が低いと、磁力が強くても、磁力線の数は減る。透磁率とは、どれくらいの磁力線を通す事ができるのかの割合を意味する。


　ここにきて、ようやく・・・

　「透磁率」の言葉の意味がわかった

　のだ。


　物質中のアンペールの法則の微分形だが、以下のような形になる。

物質中のアンペールの法則の微分形

物質中のアンペールの法則の微分形なのだが磁場由来の電流と、磁化ベクトル由来の回転電流で構成される形になる。



電磁気学入門の目次

電磁気学入門:目次
スカラーとベクトル	簡単なスカラーとベクトルの話です。ベクトルは方向と大きさを持つ量。方向という量持っているだけに注意が必要です。
静電気の発見からクーロンの法則	今でこそ当たり前の静電気や導体、絶縁体、電荷などどういう経緯で発見し、クーロンの法則まで至ったのかの話です。
クーロン力、電場、近接作用	4つの力のうち、クーロン力の位置づけ電荷が作り出す作用の電場。近接作用の話です。
微分、全微分、方向微分	簡単な微分、全微分、方向微分の話です。ここをしっかり押さえないと、電磁気の数式の意味がわからなくなります。
ベクトル解析	電磁気に必要なベクトル解析の話です。勾配(grad)、2次元のグリーン定理ストークスの定理の話です。
電位ポテンシャル	電位ポテンシャルです。勾配と電場の関係を使って説明しています。
電気双極子	電気双極子の話です。物質中で起こる分極を理解するのに必要です。
ガウスの法則	ガウスの法則の積分形、微分形の話です。
ポアソンの方程式、ラプラス方程式	ポアソンの方程式、ラプラス方程式の話です。単に電荷分布から電位を求めるだけの話にとどまらない奥が深い分野です。ポテンシャル論、デルタ関数グリーン関数、固有値問題について触れています。
静電場と渦なしの法則	静電場で、電荷を1周させた時の仕事はゼロ微分形と微分形の渦なしの法則の話です。
ビオサバールの法則	電気と磁場の関係の発見の話からビオ・サバールの法則が導かれるまでの話です。
磁気双極子	磁気双極子の話で、回転電流になります。物質中の磁場の話にも関連します。
アンペールの法則	アンペールの法則の話です。積分形・微分形だけでなく、閉回路に流れる電流が作る磁気双極子の話なども書いています。
ローレンツ力	磁場中を移動する電荷にかかる力(ローレンツ力)の話です。ローレンツ力は相対性理論が絡んでいる事も紹介しています。
ファラデーの誘導起電力の法則	ファラデーの誘導起電力の話です。
うず電流を使った簡単な物理実験	電力計に使われるアラゴの円盤。そしてIH調理器で熱するために発生させる、うず電流はレンツの法則から電流が発生する原理を応用した物だ。アラゴの円盤の実験と、IH調理器を使った実験です。気分転換で読んでください。
ベクトルポテンシャル	わかりにくいベクトルポテンシャルの話です。電位は電荷が作る電気のポテンシャルだがベクトルポテンシャルは電流が作る磁場のポテンシャルの話です。
オームの法則の微分形	微小領域でのオームの法則の話です。
マックスウェルの方程式	4つのマックスウェルの方程式を書いています。電場と磁場の変化を図にする事で rotの回転の意味も理解できます。
ゲージ変換	ゲージ(gauge)は物差しの意味です。マックスウェルの方程式をE（電場）とB(磁場)の関係式から φ(電位ポテンシャル)とA(ベクトルポテンシャル)の関係式に書き換える際、ゲージ変換が使われます。ゲージ変換の役目を書きました。
電磁波	マックスウェルの方程式から電波が伝わる様子を視覚的に見てみる話です。
回転のrotはベクトルの微分	ベクトル解析や渦なしの法則で出てくるrotはベクトルの微分という話です。
電磁気学の単位系	電磁気学の単位系の話です。物理量の単位系の指数を見る次元解析電磁気学の歴史と単位系の変遷について触れました。
電気泥棒:電気と法律の話	電気は物体なのか、無形物なのか。明治時代に、電気を無断で使った場合、物か、そうでないかで窃盗罪になるかどうかが裁判で問われました。ちょっとした科学と法律の話です。気分転換で読んでください。
数ベクトルと基底ベクトル	ベクトルの話です。矢印だけがベクトルでない事。数ベクトルと基底ベクトルの違いの話です。多様体、反変・共変ベクトルを理解するのに必要です
多様体	空間を一般化した話です。 ▽(ナブラ)の正体に迫まります
外積代数	外積、テンソルについて書いています。極性ベクトル、軸性ベクトル外積は行列で、ベクトルは見せかけの姿だった話です。
ベクトルの双対関係	反変ベクトル、共変ベクトル、双対関係ベクトル解析、外積代数の話外積、テンソルについて書いています。
ローレンツ力と相対性理論	磁場は電場の相対論的効果だった話です。ローレンツ力を使って、導線が作る磁場を使って説明です。
微分形式	多様体の話の続きです。座標に依存しない形での関数やベクトルの微分の話です。ガウスの法則、アンペールの法則、マックスウェルの方程式が鮮やかな形で表現できます。 ∇(ナブラ)の正体もわかります。
物理と対称性	マックスウェルの方程式をよく見ると対称性があります。物理の方程式と対称性を数学的な観点でみると意外なつながりがあるという話です。
マックスウェルの応力	電気力線を弾性体(ゴム)とみなして、力の伝わり方などを説明した考え方です。
電場エネルギー	電場が持つエネルギーの式を導いた話です。
磁場エネルギー	磁場が持つエネルギーの式です。手抜きの説明と、直流RL回路を使った説明を書きました。
ポインティングベクトル	電磁エネルギーの流れ「ポインティングベクトル」の話です。電磁波でもエネルギー保存則が成り立つ話からポインティングベクトルを導いています。
電気エネルギーは導線の外を伝わる	導線の外を電気エネルギーが流れる話です。私が誤解した事、その誤解を解いていく過程を紹介しながら「目からウロコ」にたどり着いた話です。
物質中の電場	物質中の電場の話です。分極の話をしながら、物質中の電場の話をします
物質中の磁場	磁性の話をしながら、物質中の磁場の話をします
物質中のマックスウェルの方程式	物質中でもマックスウェルの方程式が成り立つ話です。
導体に侵入する電磁波	導体に侵入する電磁波が減衰していく話です。表皮効果と同じ「表皮の厚さ」が出てきます
表皮効果	目的の表皮効果の話です。マックスウェルの方程式を解きながら交流電流の周波数を上げると、表面にしか電流が流れなくなる話です。

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